Test t di student a un solo campione

Confronto della media campionaria con un valore noto, varianza della popolazione non nota.

Riprendiamo la traccia di un esercizio precedente.
È stato effettuato un test di intelligenza su 10 soggetti, e di seguito vengono riportati i risultati ottenuti. Il risultato medio della popolazione ottenuto allo stesso test è pari a 75. Si vuole verificare se la media campionaria è significativamente simile (si ponga il livello di significatività pari al 5%) alla media della popolazione, supponendo che la varianza della popolazione non sia nota.

65, 78, 88, 55, 48, 95, 66, 57, 79, 81

Contrariamente a quanto fatto per il test z a un solo campione, per il test t di student a un solo campione esiste una funzione preimpostata in R che possiamo subito applicare.
Si tratta della funzione t.test(a, mu), che possiamo vedere qui di seguito applicata.

> a = c(65, 78, 88, 55, 48, 95, 66, 57, 79, 81)
>
> t.test (a, mu=75)

One Sample t-test

data: a
t = -0.783, df = 9, p-value = 0.4537
alternative hypothesis: true mean is not equal to 75
95 percent confidence interval:
60.22187 82.17813
sample estimates:
mean of x
71.2

La funzione t.test a un solo campione (one sample in inglese) ci fornisce in output il valore di t calcolato; ci dà inoltre i gradi di libertà (df = degree freedom), l’intervallo di confidenza (confidence interval) e la media (mean of x).
Per giungere alla conclusione statistica possiamo procedere in due modi. Possiamo ad esempio confrontare il valore di t con il valore tabulato della t di student con 9 gradi di libertà. Se non disponiamo delle tavole, possiamo calcolare il valore t-tabulato in questo modo:

> qt(0.975, 9)
[1] 2.262157

La funzione qt(p, df) restituisce il valore di t in base alla significatività scelta (abbiamo scelto un livello di significatività pari al 95%, il che significa che in ogni coda abbiamo il 2.5%, che corrisponde al valore di p inserito: 1 – 0.025), e ai gradi di libertà. Confrontando il valore di t calcolato nel t test con il t tabulato risulta minore, il che significa che accettiamo l’ipotesi nulla di uguaglianza delle medie: la mia campionaria è significativamente simile alla media della popolazione.

In alternativa avremmo potuto valutare il valore p-value. Con un livello di significatività del 5%, ricordiamo questa regola: se p-value è maggiore di 0.05 allora accettiamo l’ipotesi H0; se p-value è minore di 0.05 allora rifiutiamo l’ipotesi H0.