Esercizio sulla probabilità: distribuzione binomiale negativa

Qual è la probabilità che lanciando una moneta si ottenga la 4 croce prima della 3 testa?


La formula matematica per risolvere questo esercizio, che segue una distribuzione binomiale negativa, è la seguente:

Per risolvere un problema del genere, il numero di lanci non è significativo, in quanto è sufficiente conoscere la probabilità dei singoli lanci che si effettuano e che si vogliono combinare, per ottenere la probabilità richiesta. Per risolvere questo tipo di problema in R si usa la funzione dnbinom(x,y,p). Questa distribuzione permette di calcolare la probabilità che un numero di fallimenti x avvenga prima del successo y in una sequenza di prove bernoulliane per la quali la probabilità del singolo successo è p.

> dnbinom(4,3,0.5)
[1] 0.1171875

La probabilità che esca la quarta croce prima dell’uscita della terza testa (quindi dopo che sono uscite due teste) è pari all’11,72%.

Può sembrare un risultato strano, ma per convincerci dell’esattezza di questa funzione di R, proviamo a considerare quest’altro problema: quali sono le probabilità che esca la prima, la seconda, la terza, ... , la 25esima testa prima della seconda croce?
Possiamo ottenere un istogramma in R, che mostra quanto richiesto, in questa maniera:

> barplot(dnbinom(1:25,2,0.5), col="grey", names.arg=1:25)

Osservate che la probabilità che esca la prima testa, prima della seconda croce è 0.25, ossia il prodotto 0.5 * 0.5 (probabilità che esca T dopo che è uscito C). Man mano che i lanci della moneta vanno avanti, la probabilità scende sempre più.