Confronto tra più gruppi, metodo parametrico: analisi della varianza ANOVA

Analisi della varianza: ANOVA

Il metodo ANOVA permette di effettuare il confronto tra più gruppi, con metodo parametrico (supponendo cioè che i vari gruppi seguano una distribuzione gaussiana).
Procediamo con il seguente esempio:

Il dirigente di una catena di supermercati vuole verificare se il consumo in KiloWatt di 4 suoi negozi siano tra loro uguali. Raccoglie i dati alla fine di ogni mese, per 6 mesi. I risultati sono i seguenti:

Supermercato A: 65, 48, 66, 75, 70, 55
Supermercato B: 64, 44, 70, 70, 68, 59
Supermercato C: 60, 50, 65, 69, 69, 57
Supermercato D: 62, 46, 68, 72, 67, 56

Per procedere con la verifica ANOVA, occorre dapprima verificare l'omoschedasticità (ossia effettuare test per l'omogeneità delle varianze). Il software R mette a disposizione due test nel pacchetto standard: il test di Bartlett e il test di Fligner-Killeen; numerosi altri test per testare l'omogeneità delle varianze (test di Hartley, di Cochran, di Levene, eccetera) vengono discussi in questo post.

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Cominciamo con il test di Bartlett.

Per prima cosa creiamo 4 array con i valori:

a = c(65, 48, 66, 75, 70, 55)
b = c(64, 44, 70, 70, 68, 59)
c = c(60, 50, 65, 69, 69, 57)
d = c(62, 46, 68, 72, 67, 56)

Adesso concateniamo i 4 valori in un unico vettore:

dati = c(a, b, c, d)

Ora su questo unico contenitore in cui sono salvati tutti i dati, creiamo i 4 livelli:

gruppi = factor(rep(letters[1:4], each = 6))

Possiamo osservare il contenuto del vettore gruppi semplicemente digitando gruppi + [invio].

A questo punto avviamo il test di Bartlett:

bartlett.test(dati, gruppi)

       Bartlett test of homogeneity of variances

data:  dati and gruppi
Bartlett's K-squared = 0.4822, df = 3, p-value = 0.9228

La funzione ci ha fornito il valore della statistica test, nonché il p-value. Possiamo affermare che le varianze sono omogenee essendo p-value > 0.05. In alternativa possiamo confrontare il Bartlett's K-squared con il valore del chi-quadro-tabulato; calcoliamo quest'ultimo valore, assegnando il valore di alpha e i gradi di libertà:

qchisq(0.950, 3)
[1] 7.814728

Come vedete, chi-quadro-tabulato è maggiore di Bartlett's K-squared, quindi l'ipotesi di omoschedasticità è vera.

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Proviamo a verificare l'omoschedasticità con il test di Fligner-Killeen.
La sintassi è del tutto analoga, quindi procediamo velocemente.

a = c(65, 48, 66, 75, 70, 55)
b = c(64, 44, 70, 70, 68, 59)
c = c(60, 50, 65, 69, 69, 57)
d = c(62, 46, 68, 72, 67, 56)

dati = c(a, b, c, d)

gruppi = factor(rep(letters[1:4], each = 6))

fligner.test(dati, gruppi)

       Fligner-Killeen test of homogeneity of variances

data:  dati and gruppi
Fligner-Killeen:med chi-squared = 0.1316, df = 3, p-value = 0.9878

Le conclusioni sono analoghe a quelle viste per il test di Bartlett.

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Verificata l'omoschedasticità dei 4 gruppi, possiamo procedere con il metodo ANOVA.

Anzitutto organizziamo i valori:

modello = lm(formula = dati ~ gruppi)

Quindi analizziamo col metodo ANOVA:

anova (modello)

Analysis of Variance Table

Response: dati
         Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
gruppi     3    8.46    2.82  0.0327 0.9918
Residuals 20 1726.50   86.33 

L'output della funzione è la classica tabella ANOVA con i seguenti dati:
Df = gradi di libertà
Sum Sq = devianza (entro gruppi, e residua)
Mean Sq = varianza (entro gruppi, e residua)
F value = è il valore della statistica test, calcolato come (varianza entro gruppi) / (varianza residua)
Pr(>F) = è il p-value

Essendo p-value > 0.05, accettiamo l'ipotesi H0: le medie dei valori sono statisticamente uguali. Per sicurezza possiamo confrontare F-value con il valore F-tabulato (alpha, gradi di libertà del numeratore, gradi di libertà del denominatore):

qf(0.950, 20, 3)
[1] 8.66019

Poiché F-tabulato > F-value-calcolato, posso concludere accettando l'ipotesi H0: le medie sono statisticamente uguali.

Se l'ANOVA fosse risultata significativa (ossia se p-value < 0.05, allora vuol dire che non tutte le medie dei k gruppi considerati sono tra loro uguali. Occorre andare a ricercare quale o quali coppie di gruppi rendono significativa l'ANOVA, ossia si deve cercare quali coppie di medie sono significativamente differenti. Per far questo sono a disposizione gli ANOVA post hoc-tests, di cui si parla in questo post.